Anhand der Skizze konnten wir anschaulich herleiten, dass folgende Beziehung gilt:

\[\frac{sinx cosx}{2}\leq\frac{x}{2}\leq\frac{tanx}{2}\]

Nun sollten wir schauen, was das mit unserem ursprünglichen Problem zu tun hat. Beginnen wir mit der rechten Ungleichung:

\[\frac{x}{2}\leq\frac{tanx}{2}\]

Diese können wir erst ein wenig vereinfachen:

\[x\leq tanx\]

\[x\leq \frac{sinx}{cosx} \]

\[cosx\leq \frac{sinx}{x} \]

Damit haben wir unsere Ursprungsfunktion gefunden und in ein Verhältnis gesetzt! Schauen wir uns jetzt die linke Seite der Ungleichung an:

\[\frac{sinx cosx}{2}\leq\frac{x}{2}\]

Über die Additionstheoreme können wir die linke Seite der Ungleichung auch umschreiben:

\[\frac{sinxcosx}{2}=\frac{1}{4}sin(2x)  \]

Damit können wir nun deutlich einfacher weiterrechnen:

\[\frac{1}{4}sin(2x)\leq \frac{x}{2}\]

\[sin(2x)\leq 2x\]

\[\frac{sinx}{x}\leq 1 \]

Diese Teilergebnisse können wir nun wieder zusammenfassen und unseren Grenzwert damit gewissermaßen einkeilen:

\[cosx\leq \frac{sinx}{x} \leq 1\]

Damit sind wir eigentlich auch schon fertig. Wir wissen nun, dass der Grenzwert in jedem Fall kleiner oder gleich 1 sein muss. Ebenso wissen wir, dass der Grenzwert größer oder gleich cos(x) sein muss. Bekannterweise gilt:

\[\lim_{x \to 0} cosx=1 \]

Damit haben wir den gesuchten Grenzwert quasi zwischen zwei anderen eingesperrt. Man spricht auch von einem Einschnürsatz oder sandwich theorem.