Anhand der Skizze konnten wir anschaulich herleiten, dass folgende Beziehung gilt:

Nun sollten wir schauen, was das mit unserem ursprünglichen Problem zu tun hat. Beginnen wir mit der rechten Ungleichung:

Diese können wir erst ein wenig vereinfachen:

Damit haben wir unsere Ursprungsfunktion gefunden und in ein Verhältnis gesetzt! Schauen wir uns jetzt die linke Seite der Ungleichung an:

Über die Additionstheoreme können wir die linke Seite der Ungleichung auch umschreiben:

Damit können wir nun deutlich einfacher weiterrechnen:

Diese Teilergebnisse können wir nun wieder zusammenfassen und unseren Grenzwert damit gewissermaßen einkeilen:

Damit sind wir eigentlich auch schon fertig. Wir wissen nun, dass der Grenzwert in jedem Fall kleiner oder gleich 1 sein muss. Ebenso wissen wir, dass der Grenzwert größer oder gleich cos(x) sein muss. Bekannterweise gilt:

Damit haben wir den gesuchten Grenzwert quasi zwischen zwei anderen eingesperrt. Man spricht auch von einem Einschnürsatz oder sandwich theorem.

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